Program Linear

Posted on

Program Linear – Materi yang menjelaskan tentang pengertian, materi, model matematika dan contoh soal program linear secara lengkap yang dilengkapi dengan pembahasannya. Jika ingin memahaminya dengan jelas, silahkan kalian simak materinya dibawah ini gaes!

Program Linear
Program Linear

Pengertian Program Linear

Program linear adalah salah satu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dihasilkan dari nilai pada suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Pada persoalan linear terdapat sebuah fungsi linear yang dapat disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan maupun kendala pada persoalan linear merupakan suatu sistem pertidaksamaan linear.

Pengertian Program Linear

Sistem Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan suatu pertidaksamaan dengan kombinasi operasi antar variabel yang ditandai dengan sebuah simbol maupun tanda <

 (kurang dari), \leq (kurang dari sama dengan), > (lebih dari), dan juga simbol \geq (lebih dari sama dengan).

Sementara pada gabungan beberapa pertidaksamaan linear disebut juga sistem pertidaksamaan linear.

Sistem pertidaksamaan linear yang ada pada program linear sering diajarkan pada tingkat SMA umumnya akan melibatkan dua variabel dari dua atau lebih dari sistem pertidaksamaan linear.

Bagian ini yang menjadi dasar untuk dapat menyelesaikan problem yang berkaitan pada program linear.

Salah satu langkah penting pada sistem pertidaksamaan linear untuk pembahasan mengenai program linear yaitu dapat secara tepat menggambarkan suatu garis. Bahkan daerah yang memenuhi sebuah bidang kartesius.

Pada bagian ini, kita akan fokus mempelajari tentang bagaimana caranya dalam menentukan dua langkah tersebut.

Tetapi sebelum masuk kedalam topik, perlu diingat bahwa sistem pertidaksamaan linear yang akan di berikan contoh di bawah ini.

Contoh sistem pertidaksamaan linear

x + y = ≤ 5

2x + y < 7

x + 3y ≥ 11

Cara menggambar sebuah persamaan garis lurus beserta menentukan daerah yang memenuhi, sebagai berikut:

Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah dapat kita tentukan menggunakan sebuah cara seperti dibawah ini:

1. Gambarlah garis ax + by = c dalam bidang kartesius

Program Linear pdf

2. Mari kita ambil sembarang titik untuk (x1.y1) di daerah luar garis ax + by = c kemudian hitunglah nilai dari ax+ bydan bandingkan dengan nilai c.

  • Jika ax+ by≤ c daerah yang memuat x1.y1 adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear ax + by ≤ c

Materi Program Linear

  • Jika ax+ by1 ≥ c maka daerah yang memuat x1.y1 adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ax + by ≥ c

20 contoh soal program linear

Contohnya cara menentukan sebuah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah sebagai berikut.

Baca Juga :  Perbedaan Statistik dan Statistika

Diberikan sistem pertidaksamaan linear dibawah ini.

x ≥ 0

y ≥ 0

x + y ≤ 7

x + 3y ≤ 15

Tentukanlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut!

Jawab:

1. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah x + y ≤ 7

contoh soal program linear minimum dan pembahasan

2. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah x + 3y ≤ 15

contoh soal program linear dua variabel

3. Daerah yang memenuhi gabungan pada empat sistem pertidaksamaan linear adalah : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 7, x + 3y ≤ 15 yakni :

contoh soal nilai maksimum dan minimum program linear

Model Matematika Program Linear

Persoalan pada sebuah program linear yang bisa dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, selanjutnya diubah kedalam suatu model matematika. Model matematika adalah sebuah pernyataan dengan menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai contoh, produsen sepatu membuat sebuah 2 model sepatu dengan 2 bahan yang berbeda. Komposisi atau pembuatan model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr untuk bahan kedua. Sedangkan pada komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr untuk bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama adalah 72 kg dan untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama yaitu Rp. 500.000,00 dan harga model yang kedua Rp. 400.000,00. Berikut apabila disimpulkan atau disederhanakan kedalam bentuk tabel :

Model Matematika Program Linear

Dengan memakai peubah dari hasil jumlah optimal model 1 yaitu x dan model 2 yaitu y, kemudian diperoleh hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan menggunakan syarat:

  • Jika pada jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
  • Jika pada jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
  • Masing-masing pada model tersebut harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan sebuah jumlah penjualan yang maksimum adalah sebagai berikut ini :

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

  • 200x + 180y ≤ 72.000
  • 150x + 170y ≤ 64.000
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif adalah sebuah fungsi linear dan batasan-batasan dari pertidaksamaan linear yang mempunyai suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada adalah salah satu titik-titik pada diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan pada fungsi linear bisa memenuhi persyaratan yang akan ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif pada suatu persoalan linear bisa ditentukan memakai sebuah metode grafik. Dari melihat grafik dengan fungsi objektif dan batasan-batasan yang ada bisa ditentukan letak titik yang menjadi hasil sebuah nilai optimum. Berikut langkah-langkahnya dibawah ini :

  • Menggambar salah satu himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang telah ada di cartesius.
  • Menentukan sebuah titik-titik ekstrim yang berisikan perpotongan garis batasan pada sesuatu garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim itulah yang merupakan suatu himpunan penyelesaian dari batasannya dan mempunyai kemungkinan besar dapat membuat sebuah fungsi menjadi optimum.
  • Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif menggunakan dua cara yakni :
    • Menggunakan sebuah garis selidik, dan
    • Membandingkan suatu nilai fungsi objektif dengan tiap titik ekstrimnya.
Baca Juga :  Induksi Matematika

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik yang sudah diperoleh pada fungsi objektif adalah f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya tersebut yakni :

ax + by = Z

Nilai Z yang sudah diberikan dengan sembarang nilai. Garis itu dibuat setelah dari grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat terlebih dahulu. Garis selidik awalnya dibuat dalam area himpunan penyelesaian awal. Kemudian juga dibuat garis-garis yang sejajar sama menggunakan garis selidik awalnya. Berikut ini cara untuk mempermudah penyelidikian pada nilai fungsi optimum, dibawah ini:

Cara 1 (pertama) (syarat a > 0)

  • Jika maksimum, maka akan dibuat garis yang sejajar sama garis selidik awal sehingga dapat membuat himpunan penyelesaian berada di sebelah kiri garis tersebut. Titik yang dilewati garis itu yaitu titik maksimum.

Jika minimum, maka akan dibuat garis yang sejajar sama garis selidik awal sehingga dapat membuat himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis tersebut. Titik yang dilewati garis tersebut yaitu titik minimum.

Garis Selidik

Cara 2 (syarat b > 0)

  • Jika maksimum, maka akan dibuat garis yang sejajar sama garis selidik awal sehingga dapat membuat himpunan penyelesaian berada dibagian bawah garis tersebut. Titik yang dilewati garis tersebut yaitu titik maksimum.
  • Jika minimum, maka akan dibuat garis yang sejajar sama dengan garis selidik awal sehingga dapat membuat himpunan penyelesaian berada di bagian atas garis tersebut. Titik yang dilewati garis tersebut yaitu titik minimum.

Menggunakan Garis Selidik

Jika nilai a < 0 dan b < 0, maka berlaku kebalikan dengan kedua cara yang telah dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki suatu nilai optimum dari fungsi objektif bisa dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan sebuah titik-titik potong pada garis-garis batas yang telah ada. Titik-titip potong itulah yang disebuat nilai ekstrim berpotensi mempunyai nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka ditentukan nilai masing-masing dari fungsinya, selanjutnya perlu dibandingkan. Nilai terbesarnya adalah nilai maksimum dan nilai terkecilnya adalah nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear

Contoh Soal 1

Luas daerah parkir yaitu 360 m^{2}. Luas rata-rata pada sebuah mobil 6 \; m^{2} dan luas rata-rata pada mobil bus 24 \; m^{2}. Pada daerah parkir tersebut bisa memuat paling banyak setidaknya 30 kendaraan roda empat (mobil maupun bus). Apabila tarif parkir pada mobil sebesar Rp2000,00 dan tarif parkir pada mobil bus Rp5000,00 maka pendapatan terbesar yang bisa diperoleh tukang parkir adalah ….

A.     Rp40.000,00

B.     Rp50.000,00

C.     Rp60.000,00

D.     Rp75.000,00

E.     Rp90.000,00

Jawab:

Misalkan bahwa:

x = banyak mobil

y = banyak bus

Perhatikan tabel berikut ini!

Soal Ujian Nasional 1

Maka akan didapatkan dua persamaan seperti berikut:

x + y ≤ 30

6x + 24y ≤ 360 → x + 4y ≤ 60

Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaannya yaitu:

Daerah Penyelesaian Soal 1

Akan ditentukan dalam nilai maksimum menggunakan metode titik sudut sebagai berikut ini.

Titik koordinat dari O, A, dan juga C didapatkan dengan melihat sebuah gambar di atas. Yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Pada koordinat B dapat kita lihat dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi berikut ini :

x + y = 30

x + 4y = 60

________ –

-3y = -30

x = -30/-3 = 3

Substitusi nilai y = 10 dalam persamaan x + y = 30 untuk memperoleh hasil nilai x.

x + y = 30

x + 10 = 30

x = 30 – 10 = 20

Koordinat titik B yakni (20, 10).

Jadi perhitungan keuntungan maksimal yang akan didapatkan tukang parkir adalah:

keuntungan maksimal

Jawaban: E

Baca Juga :  1 Kg Berapa Ons? Rumus, Konversi dan Contoh Soal Kg dan Ons

 

Contoh Soal 2

Tentukanlah suatu nilai minimum f(x, y) = 9x + y didalam daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan:

  • Langkah 1 menggambar sebuah grafiknya

Contoh Soal Program Linear 2

  • Langkah 2 menentukan sebuah titik ekstrim

Pada gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yakni : A, B, C, D dan untuk himpunan penyelesaiannya berada di area yang telah diarsir.

  • Langkah 3 menyelidiki sebuah nilai optimum

Dari grafik yang sudah diketahui titik A dan B mempunyai y = 0, sehingga kemungkinan akan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan pada f(x, y) = 9x + y yang akan dibandingkan.

menyelidiki nilai optimum

Dengan membandingkannya, disimpulkan bahwa titik A mempunyai nilai minimum = 18

 

Contoh Soal 3
Tentukan suatu nilai maksimum fungsi dari f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai dalam sebuah grafik berikut!

Contoh Soal Program Linear 3

Pembahasan:

Titik ekstrim dari gambar diatas yaitu :

  • A bukan nilai maksimum karena titik berada paling kiri.
  • B(3, 6)
  • C(8, 2)
  • D(8, 0)

Nilai pada tiap titik ekstrim yakni :

  • B(3, 6) \longrightarrow f(3, 6) = 4(3) + 5(6) = 42
  • C(8, 2) \longrightarrow f(8, 2) = 4(8) + 5(2) = 42
  • D(8, 0) \longrightarrow f(8, 0) = 4(8) + 5(0) = 32

Sehingga didapat nilai maksimum pada titik yang melalui sebuah garis BC dengan nilai maksimum adalah 42.

Demikian penjelasan materi tentang pengertian, materi, model matematika dan contoh soal Program Linear. Semoga materi diatas berguna bagi kita semua.

Artikel Terkait :