Induksi Matematika

Posted on

Induksi Matematika – Materi yang membahas tentang pengertian, materi, pembahasan dan contoh soal induksi matematika secara lengkap dan terperinci. Jika kalian ingin memahaminya dengan jelas, silahkan kalian simak materinya dibawah ini gaes!

Induksi Matematika
Induksi Matematika

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah suatu metode dalam pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang saling berkaitan dengan himpunan bilangan yang tersusun rapi (well ordered set). Bilangan tersebut contohnya dalam bilangan asli atau himpunan bagian tak kosong pada bilangan asli.

Induksi matematika merupakan salah satu materi yang menjadi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri merupakan ilmu yang mempelajari pernyataan dapat bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan berisikan penarikan kesimpulan.

Terdapat tiga langkah induksi matematika yang sangat dibutuhkan dalam membuktikan suatu rumus maupun pernyataan. Berikut langkah-langkah nya dibawah ini :

  1. Membuktikan sebuah rumus atau pernyataan benar dalam n = 1.
  2. Mengasumsikan sebuah rumus atau pernyataan tersebut benar dalam n = k.
  3. Membuktikan sebuah rumus atau pernyataan tersebut benar dalam n = k + 1.

Jika akan menerapkan induksi matematika, kita harus dapat menyatakan sebuah pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang telah diberikan. Dalam meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  kedalam pernyataan tersebut P(k).

Contoh :

Berikut beberapa contoh dari sebuah pernyataan matematika yang dapat dibuktikan kebenarannya dalam sebuah induksi matematika:

  • P(n):  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), n merupakan bilangan asli.
  • P(n):  6n + 4 habis dibagi 5, untuk n merupakan bilangan asli.
  • P(n):  4n < 2n, untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

Cara yang sangat mudah dalam mengetahui bagaimana prinsip kerja induksi matematika yakni dengan cara mengamati efek dominonya.

Kita dapat mulai mengajukan sebuah pertanyaan, contohnya“kapan seluruh domino akan jatuh”.

Ada dua keadaan yang perlu dipenuhi agar seluruh domino di atas terjatuh.

Pertama: domino 1 harus jatuh.

Kedua: benar bahwa dalam setiap masing-masing domino yang jatuh akan menjatuhkan tepat satu domino berikutnya.

Hal itu berarti bahwa jika domino 1 jatuh maka domino 2 pasti jatuh juga, jika domino 2 jatuh maka domino 3 pasti jatuh dan begitu juga seterusnya.

Pada umumnya dapat di sebutkan bahwa apabila domino k jatuh maka domino (k + 1) jatuh juga dan implikasi ini akan berlaku dalam seluruh domino.

Apabila kedua keadaan tersebut telah terpenuhi, maka sudah dipastikan bahwa seluruh domino akan jatuh.

Tahapan Pembuktian Induksi Matematika

Berdasarkan pembahasan di atas, maka langkah dalam pembuktikan sebuah induksi matematika bisa dilakukan dengan urutan seperti berikut ini :

  1. Langkah awal: Menunjukan jika P(1) benar.
  2. Langkah induksi: Ibaratkan P(k) benar dalam sebarang k merupakan bilangan asli, kemudian menunjukan jika P(k+ 1) juga benar berdasarkan pada asumsinya.
  3. Kesimpulan: P(n) benar untuk masing-masing setiap bilangan asli n.
Baca Juga :  Perbedaan Statistik dan Statistika

Pembuktian Deret

Sebelum masuk ke tahap berikutnya yakni pembuktian deret, ada beberapa hal yang harus di perhatikan dengan seksama terkait deret. Sebagai berikut :

Jika

P(n) :  u1 + u2 + u3 + … + un = Sn , maka

P(1) :  u1 = S1

P(k) :  u1 + u2 + u3 + … + uk = Sk

P(k + 1) :  u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1

Contoh 1:

Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Akan dibuktikan dengan P(n) benar untuk setiap masing-masing n ∈ N

Langkah awal:

Menunjukan jika P(1) benar

2 = 1(1 + 1)

Sehingga didapat, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan P(k) benar adalah :

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Akan menunjukanP jika (k + 1) juga benar, yaitu:

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi  tersebut maka:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)

Kemudian menambahkan kedua ruas pada uk+1 :

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Sehinga, P(k + 1) benar

Berdasarkan pada hasil prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap masing-masing n yang merupakan bilangan asli.

Contoh 2:

Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 itu benar, terhadap masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) :  1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2

Maka akan menunjukan jika P(n) benar untuk setiap masing-masing n ∈ N

Langkah awal:

Akan menunjukan jika P(1) benar

1 = 12

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, adalah:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2,    k ∈ N

Akan menunjukan jika P(k + 1) juga benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

Dari asumsi tersebut maka:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2

Kemudian menambahkan kedua ruas pada uk+1 :

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

Sehingga, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan dari hasil prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap masing-masing n yang merupakan bilangan asli.

Pembuktian Keterbagian

Pernyataan berikut “a habis dibagi b” yang bersinonim pada:

  • a kelipatan b
  • b faktor dari a
  • b membagi a

Apabila p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga akan habis dibagi a.

Baca Juga :  Logika Matematika

Contohnya, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis dibagi 2

Contoh :

Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) :  6n + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan jika P(n) benar dalam setiap masing-masing n ∈ N.

Langkah awal:

Akan menunjukan jika P(1) benar

61 + 4 = 10 habis dibagi dengan 5

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, adalah:

6k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan menunjukan jika P(k + 1) juga benar, yaitu:

6k+1 + 4 habis dibagi 5.

6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4

Karena 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga akan habis dibagi 5.

Sehingga, P(k + 1) adalah benar.

Berdasarkan hasil dari prinsip induksi matematika diatas, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, dalam setiap masing-masing n yang merupakan bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi dengan bbilangan bulat b jika ditemukan bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.

Contohnya, “10 habis dibagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat yakni, m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Oleh dari itu, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tuliskan seperti“10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

Berdasarkan hasil dari konsep tersebut, pembuktian keterbagian dapat diselesaikan menggunakan cara seperti dibawah ini:

Contoh :

Buktikan n3 + 2n akan habis dibagi 3, pada setiap masing-masing n bilangan asli

Jawab:

P(n) :  n3 + 2n = 3m, dengan m ∈ ZZ

Akan dibuktikan dalam P(n) benar setiap masing-masing n ∈ NN

Langkah awal:

Akan ditunjukkan jika P(1) benar

13 + 2.1 = 3 = 3.1

Sehingga, P(1) adalah benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, adalah:

k3 + 2k = 3m,    k ∈ NN

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yaitu :

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ ZZ

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)

Karena m bilangan bulat dan k merupakan bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.

Contohnya seperti p = (m + k2 + k + 1), sehingga:

(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ

Jadi, P(k + 1) yaitu benar

Berdasarkan dari hasil induksi matematika di atas, terbukti bahwa n3 + 2n akan habis dibagi 3, pada setiap masing-masing n bilangan asli.

Pembuktian Pertidaksamaan

Berikut beberapa sifat pertidaksamaan yang umumnya sering digunakan, antara lain:

1.  Sifat transitif

a > b > c  ⇒  a > c  atau

Baca Juga :  Jangka Sorong

a < b < c  ⇒  a < c

2.  a < b dan c > 0  ⇒  ac < bc  atau

a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc

3.  a < b  ⇒  a + c < b + c  atau

a > b  ⇒  a + c > b + c

Sebelum masuk ke dalam tahapan soal-soal, sebaiknya kita latihan terlebih dahulu dengan menggunakan sifat-sifat di atas untuk menunjukkan implikasi “apabila P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.

Contoh 1:

P(k) :  4k < 2k

P(k + 1) :  4(k + 1) < 2k+1

Jika diasumsikan bahwa P(k) benar pada k ≥ 5, maka di tunjukkan P(k + 1) juga benar !

Perlu diingat bahwa target kita adalah untuk menunjukkan, sehingga:

4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k  (TARGET)

Kita dapat mengawalinya dengan ruas kiri pertidaksamaan di atas seperti:

4(k + 1) = 4k + 4

4(k + 1) < 2k + 4        (karena 4k < 2k)

4(k + 1) < 2k + 2k      (karena 4 < 4k < 2k)

4(k + 1) = 2(2k)

4(k + 1) = 2k+1

Berdasarkan dari sifat transitif maka bisa kita simpulkan bahwa 4(k + 1) < 2k+1

Kenapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?

Karena menurut sifat 3, kita diperbolehkan untuk menambahkan kedua ruas suatu pertidaksamaan menggunakan bilangan yang sama.

Sebab juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari pertidaksamaan tersebut. Sebab 4k < 2k benar, yang membuat 4k + 4 < 2k + 4 juga benar.

Darimana kita tahu, jika 4 harus diubah menjadi 2k ?

Perhatikan target berikut.

Hasil sementara yang kita dapatkan yakni 2k + 4 sementara target kita adalah 2k + 2k.

Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k yakni bernilai benar, maka 4 < 2k juga benar (sifat transitif). Hal tersebut membuat 2k + 4 < 2k + 2k  benar (sifat 3).

Contoh Soal Induksi Matematika

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2.

Pembahasan:

  • Langkah 1

1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}

1 = 1    (terbukti)

  • Langkah 2 (n = k)

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2

  • Langkah 3 (n = k + 1)

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3.

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3   (kedua ruas ditambah(k + 1)^3.

 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))

 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)

 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)

 1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)

 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2     {terbukti).

 

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa

\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}

Pembahasan:

  • Langkah 1

 \frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}      (terbukti)

  • Langkah 2 (n = k)

\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k}

  • Langkah 3 (n = k + 1)

\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}

Dibuktikan dengan:

 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}     (kedua ruas dikali dengan \frac{k+1}{2^{k+1}})

 = 2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}      (2k diubah menjadi 2k+1)

= 2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}

= 2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}

= 2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}        (terbukti)

 

Contoh Soal 3

Buktikan bahwa 3^{2n} + 2{2n + 2} habis dibagi 5.

Pembahasan:

  • Langkah 1

3^{2(1)} + 2^{2(1)+2} = 3^2 + 2^4 = 9 + 16 = 25    habis dibagi 5 (terbukti)

  • Langkah 2 (n = k)

3^{2k} + 2^{2k+2}

  • Langkah 3 (n = k + 1)

3^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+2}

= 3^{2k+2} + 2^{2k+2+2}

= 3^2(3^{2k}) + 2^2(2^{2k+2})      (dibuat sama

seperti bentuk soal)

=10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - 3^{2k} - 2^{2k+2}       (3^2 dibuat 10 dan 2^2 dibuat 5, agar dapat dibagi 5)

= 10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - (3^{2k} + 2^{2k+2})

Didapatkan :

  • 10(3^{2k}) habis dibagi 5
  • 5(2^{2k+2})habis dibagi 5
  • -(3^{2k}) + 2^{2k+2}sama seperti langkah 2, habis dibagi 5

Demikian pembahasan tentang pengertian, materi, pembahasan dan contoh soal Induksi Matematika. Semoga materi diatas berguna bagi kita semua.

Artikel Terkait :